二项分布中期望 概率与试验次数的关系

前置知识

对于一个发生概率为p且只存在发生与不发生的事件的重复实验结果称为二项分布

举例：抛硬币 等概率投篮

记作 X\sim B(N,p)

其中X为事件，N为事件重复的次数，p为单次事件发生的概率

对于二项分布，不难看出

P(X=K)=C^{K}_{N}*p^K(1-p)^{N-K}

正文

给定K，求出最有可能发生X=K的N

即

\begin{align} \forall T\in N^*,P(X=K,X\sim B(T,p))>P(X=K,X\sim B(N,p)) \end{align}

首先列出P(X=K)并记为f(N)

\begin{align} f(N)=P(X=K)=C^{K}_{N}*p^K(1-p)^{N-K} \end{align}

易证

\begin{align} f(N)>f(N+1)\\ f(N)>f(N-1) \end{align}

带入得

\begin{align} C^{K}_{N}*p^K(1-p)^{N-K}>C^{K}_{N+1}*p^K(1-p)^{N+1-K}\\ C^{K}_{N}*p^K(1-p)^{N-K}>C^{K}_{N-1}*p^K(1-p)^{N-1-K} \end{align}

对于(5)

\begin{align} C^{K}_{N}*p^K(1-p)^{N-K}&>C^{K}_{N+1}*p^K(1-p)^{N+1-K}\\ \frac{N!}{K!(N-K)!}p^K(1-p)^{N-K}&>\frac{(N+1)!}{K!(N+1-K)!}p^K(1-p)^{N+1-K}\\ (1-p)^{N-K}&>\frac{N+1}{N+1-K}(1-p)^{N+1-K}\\ 1&>\frac{N+1}{N+1-K}(1-p)\\ N+1-K&>N-Np+1-p\\ Np&>k-p\\ k&<p(1+N)\\ \end{align}

对于(6)

\begin{align} \frac{N!}{K!(N-K)!}(1-p)&>\frac{(N-1)!}{K!(N-K-1)!}\\ \frac{N}{N-K}(1-p)&>1\\ N-Np&>N-K\\ K&>Np \end{align}

其中p,K皆为给定常数所以可以很快算出