刚体力学
刚体力学
这章讲的是转动，就是绕某个轴的转动，质心的运动就可以被分解为绕无穷远轴的转动+绕质心的转动
角速度
力矩
定义
首先给出力矩的定义
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}
此处得到的力矩即为对于\vec{r}所对应的参考点的力矩，参考点不同同一个力所对应的力矩也不同
内力矩
现在证明合内力矩为0
\begin{align*}
\vec{M}_{sum}
&= \sum_i \sum_{j\neq i}\vec{M}_{i,j} \\
&= \sum_i \sum_{j\neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{i,j} \\
&= \sum_{(i,j),j\neq i} \vec{r}_{i} \times \vec{F}_{j,i} + \vec{r}_{j} \times \vec{F}_{i,j} \\
Since&\ \ \ \vec{F}_{i,j} + \vec{F}_{j,i} = 0\\
&= \sum_{(i,j),j\neq i} \vec{r}_{i,j} \times \vec{F}_{i,j} \\
Since&\ \ \ (i,j) and (j,i)\ will \ appear \ in \ pairs \\
&= \sum_{(i,j),j > i} (\vec{r}_{i,j} + \vec{r}_{j,i}) \times \vec{F}_{i,j}\\
&= 0
\end{align*}
即质点系中，合内力矩为0
角动量
质点系受外力转动时，有
\begin{align*}
\vec{M}
&= \sum_i \vec{r}_i \times \vec{F}_i \\
&= \sum_i \vec{r}_i \times \frac{\mathrm{d}\vec{P}_i}{\mathrm{d}t} \\
Since&\ \ \ d(A \times B) = dA \times B + A \times dB\\
&= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)- \frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times \vec{P}_i\\
Since&\ \ \ \frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}\times \vec{P}_i = \vec{v}_i \times m\vec{v}_i = 0\\
&= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)\\
\end{align*}
不妨记
\vec{L} = \vec{r} \times \vec{P}
称为角动量，则有
\begin{align*}
\vec{M}
&= \sum_i \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{r}_i \times \vec{P}_i)\\
&= \sum_i \frac{\mathrm{d}\vec{L}_i}{\mathrm{d}t}
\end{align*}
转动惯量
探究角速度与角动量之间的关系
\begin{align*}
\vec{L}
&= \vec{r} \times \vec{P}\\
&= \vec{r} \times (m\cdot \vec{v})\\
&= \vec{r} \times (m\cdot \vec{\omega}\times \vec{r}) \\
&= m\cdot[\vec{r} \times (\vec{\omega}\times \vec{r})] \\
Since&\ \ \ a\times(b\times c) = (a\cdot c)b - (a\cdot b)c\\
&= m\cdot[\vec{r}\cdot \vec{r}\cdot \vec{\omega} - \vec{r}\cdot\vec{\omega}\cdot\vec{r}] \\
Since&\ \ \ \vec{r}\perp\vec{\omega}\ ,\ \ \vec{r}\cdot\vec{\omega}\cdot\vec{r}=0\\
&= m\vert\vec{r}\vert^2\vec{\omega}
\end{align*}
可以发现，对于质点系，其总角动量
\begin{align*}
\vec{L}_{sum}
&= \vec{\omega}\sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}
\end{align*}
显然，\sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}是与转动状态无关的量，不妨记作转动惯量
\vec{I} = \sum{m_i\vert\vec{r}_i\vert^2}
当质量连续时
\vec{I} = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\mathrm{d}m = \int{\vert\vec{r}_i\vert^2}\rho\mathrm{d}r\\
\rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}r}
常见刚体转动惯量
圆盘
\begin{align*}
\rho &= \frac{dm}{dr} = \frac{2\pi r dr}{\pi R^2}m / dr = \frac{2mr}{R^2} \\
\vec{I} &= \int_{0}^{R}{\vert\vec{r}_i\vert^2}\rho\mathrm{d}r\\
&= \int_{0}^{R}{\frac{2m}{R^2}r^3dr} \\
&= \frac{1}{2}mR^2
\end{align*}
球
使用圆盘积分即可
\vec{I} = \frac{2}{5}mR^2
棒
\vec{I} = \frac{1}{2}mL^2
对比
至此我们已经探索完转动的几个基础量，可以发现其与平动有着极其相似的特性
| x | r | \theta |
|---|---|---|
| \frac{dx}{dt} | \vec{v} | \vec{\omega} |
| \frac{d^2x}{dt^2} | \vec{a} | \vec{\beta} |
| m | m | I |
| m\frac{dx}{dt} | \vec{p} | \vec{L} |
| m\frac{d^2x}{dt^2} | \vec{F} | \vec{M} |
| E | \frac{1}{2}m\vec{v}^2 | \frac{1}{2}I\vec{\omega}^2 |
| dE | \vec{F}dx | \vec{M}d\theta |
| \vec{F} = m\vec{a} | \vec{F} = I\vec{\beta} | |
| P = \vec{F} · \vec{v} | P = \vec{M} · \vec{\omega} |
角动量守恒
质点系在有心力的作用下角动量守恒
- 有心力 力沿转动轴矢径
\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} = \vec{r} \times \ k\vec{r} = 0
做题
- 角动量守恒
- 单质点+有心力
- 质点系守恒时记得取相同的转动轴
- 动量守恒
- 能量守恒
- 动能 势能 转动能 摩擦生热
- 速度方向不一定垂直于绳 / 受力方向
License:
CC BY 4.0