对数平均不等式

作用

在解决多数含指数对数的函数极值点偏移时可以很轻松地构造出对均，然后证明对均即可

形式

基本形式

\frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}>\sqrt{x_1+x_2} (x_2>x_1)

进阶形式
\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}}>\ln t>\frac{2(t-1)}{t+1}(t=\frac{x_2}{x_1})
注意到，进阶形式的放缩在接近1时十分精确

所以在实际题目的处理中可以将t=\frac{x_2}{x_1}变为t_1=\frac{x_2}{x_0},t_2=\frac{x_0}{x_1}其中x_2>x_0>x_1来使得放缩更为精确，一般题目中x_0是极值点

做法

对于简易的对均，我们只需要凑出对均的形式基本就可以证出题目所求的不等式，例如
f(x)=x-\ln x,f(x_1)=f(x_2)=0,x_2>x_1 \\ proof \ \ \ x_1+x_2>2
我们有
x_1-\ln x_1=x_2-\ln x_2=0 \\ x_2-x_1=\ln x_2-\ln x_1 \\ \frac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}=1
又
\frac{x_1+x_2}{2}>\frac{x_2-x_1}{\ln x_2-\ln x_1}=1 \\ \therefore x_1+x_2>2

而对于困难的对均，我们采取 代入-化整-作差 三个步骤解题

例如
f(x)=x-\ln x,f(x_1)=f(x_2)=m,x_2>x_1 \\ proof\ \ \ \ x_1+x_2>1+m

• 代入
  f'(1)=0\\ \therefore \frac{x_2}{x_0}=x_2,\frac{x_0}{x_1}=\frac{1}{x_1}
  得到
  \ln x_2>\frac{2(x_2-1)}{x_2+1}\\ \ln \frac{1}{x_1}>\frac{2(\frac{1}{x_1}-1)}{\frac{1}{x_1}+1}

• 化整

  根据x_1-\ln x_1=x_2-\ln x_2=m得\ln x_1=x_1-m,\ln x_2=x_2-m
  x_2-m>\frac{2(x_2-1)}{x_2+1}\\ -(x_1-m)>\frac{2(1-x_1)}{1+x_1}
  即
  x_2^2+x_2-mx_2-m>2x_2-2\\ x_1^2+x_1-mx_1-m<2x_1-2
  化简得
  x_2^2-(1+m)x_2-m+2>0\\ x_1^2-(1+m)x_1-m+2<0

• 做差

  上式减去下式得到
  (x_2-x_1)(x_2+x_1)-(1+m)(x_2-x_1)>0\\ \therefore (x_2-x_1)(x_1+x_2-1-m)>0\\ \because x_2>x_1\\ \therefore x_1+x_2-1-m>0\\ x_1+x_2>1+m
  得证

练习

f(x)=\ln x-ax,f(x_1)=f(x_2)=0,x_2>x_1\\ proof \ \ \ \ x_1+x_2>\frac{1-\ln a}{a}

提示：使用加强不等式