二项分布

基本知识

对于某件要么发生，要么不发生的事件来说，它是符合二项分布的

记单次事件发生的概率为p，则不发生的概率为1-p

记该事件重复发生n次

期望

\begin{align} E(X)&=\sum{X_iP_{x_i}}\\ P_{x_i}&=C^i_np^i(1-p)^{n-i}\\ i*C^i_n&=i*\frac{n!}{i!(n-i)!}\\ &=n*\frac{(n-1)!}{i!(n-1-i)!}\\ &=n*C^i_{n-1} \end{align}

则

\begin{align} E(X)&=\sum i*C^i_np^i(1-p)^{n-i}\\ &=\sum np*C^i_{n-1}p^{i-1}(1-p)^{n-i}\\ &=np\sum C^i_{n-1}p^{i-1}(1-p)^{n-i}\\ &=np \end{align}

方差

D(X)=\sum{(X_i-E(X))^2*P_{x_i}}

操你妈的，老子不化简了

反正就是

\begin{align} i^2*C^i_n&=i(i-1)C^i_n+C^i_n\\ &=n^2C^{i-1}_{n-2}+C^i_n \end{align}

之类的化简，最后的结果是

D(X)=np(1-p)

就这样，妈的