简谐运动周期

前置知识

我们知道，简谐运动中质点偏移原点的位移随事件变化可以写作

\begin{align} X=Asin(\omega x) \end{align}

根据导数的物理意义有

\begin{align} V&=X'=\omega Acos(\omega x)\\ a&=V'=-\omega^2Asin(\omega x) \end{align}

根据具体情况分析出最大加速度即可求出\omega从而得出周期

弹簧振子

弹簧振子最大位移为A，最大加速度为\frac{kA}{m}

则

\begin{align} \frac{kA}{m}&=\omega^2A\\ \omega&=\sqrt{\frac{k}{A}}\\ T&=\frac{2\pi}{w}=2\pi \sqrt{\frac{A}{k}} \end{align}

单摆

单摆的最大位移为L\sin{\theta}，最大加速度为g\tan{\theta}

\begin{align} g\tan{\theta}&=\omega^2L\sin{\theta}\\ \omega&=\sqrt{\frac{g}{L\cos{\theta}}}\\ \end{align}

当\theta极小时\cos{\theta}=1

\omega近似看作\sqrt{\frac{g}{L}}

\begin{align} T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \end{align}