代一半

应某人的要求，特意记录一下，如有错误之处请指出

前置知识

一般椭圆方程为
\begin{align} \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \end{align}

一般双曲线方程为
\begin{align} \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 \end{align}
一般抛物线方程为
\begin{align} y^2=2px \end{align}

代一半步骤

首先我们有定点(x_0,y_0)

将方程中的x^2替换为x_0x，y^2替换为y_0y，x替换为\frac{x_0+x}{2}并化简即可得到目标直线

拿椭圆为例
\begin{align} \frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1 \end{align}

应用

考试中经常会出现给定圆锥曲线，给定定点，在此定点的基础上作各种直线并变换，最后要求证明某个交点的轨迹，此轨迹即为目标直线

如

椭圆\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{16}=1 ，A_1,A_2为左右顶点，过点F(2,0)的直线交椭圆于点A,B ，点T为直线A_1A,A_2B的交点，求T的轨迹

此时，对于定点(2,0)进行代一半操作即可得到目标直线，即T的轨迹

\begin{align} \frac{2x}{12}+\frac{0y}{16}=1\\ \frac{x}{6}=1\\ x=6 \end{align}

同样的，也有可能给定直线，动点在定直线上运动，在动点的基础上作各种直线并变换，最后要求证明某条直线过定点，此定点代一半即为目标直线

椭圆\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，动点P在直线x=4上，过点 P作椭圆的两条切线分别切于点A,B，求证直线AB过定点

此时，对于某个点进行代一半操作即可得到定直线x=4，找到这个点，这个点就是题目求的定点

\begin{align} \frac{x_0x}{4}+\frac{y_0y}{3}=1&\iff x=4\\ x_0=1&,y_0=0 \end{align}

即定点为(1,0)

当然，在考试中这只能作为快速得答案的方法，具体骗分还是要看联立+韦达
我相信这是最简单最不用动脑的，因为你只需要把式子带进去，假假化简一下就能骗满分了